Вопрос школьника
Найдите площадь общей части двух кругов с радиусами 1 и √3, расстояние между центрами которых равно 2.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что общая часть двух кругов – это пересечение этих кругов.
Для начала нарисуем два круга с заданными радиусами и расстоянием между их центрами:
Заметим, что расстояние между центрами кругов равно 2, а сумма радиусов равна 1 + √3. Это означает, что круги пересекаются, и их общая часть представляет собой фигуру, ограниченную двумя дугами окружностей и отрезком, соединяющим точки пересечения дуг.
Чтобы найти площадь этой фигуры, нам нужно разбить ее на две части: сектор и треугольник. Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и радиусом, проходящим через ее концы. Треугольник – это треугольник, образованный отрезком, соединяющим точки пересечения дуг, и отрезками радиусов, проведенными к этим точкам.
Для начала найдем угол α между радиусами, проведенными к точкам пересечения дуг. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного радиусами и отрезком, соединяющим центры кругов:
cos(α) = (1² + (√3)² — 2²) / (2 * 1 * √3) = 1/2
Отсюда получаем, что α = 60°.
Теперь можем найти площадь сектора круга с радиусом 1 и углом α:
S₁ = (α/360°) * π * r² = (60/360) * π * 1² = π/6
Аналогично находим площадь сектора круга с радиусом √3 и углом α:
S₂ = (α/360°) * π * r² = (60/360) * π * (√3)² = π/3
Наконец, находим площадь треугольника, образованного отрезком, соединяющим точки пересечения дуг, и отрезками радиусов, проведенными к этим точкам. Этот треугольник является равносторонним, так как угол α между радиусами равен 60°, а расстояние между точками пересечения дуг равно 2 (то есть, равно длине стороны треугольника). Поэтому его площадь равна:
S₃ = (√3/4) * a² = (√3/4) * 2² = √3
Итак, общая площадь фигуры, ограниченной двумя дугами и отрезком, равна сумме площадей секторов и треугольника:
S = S₁ + S₂ + S₃ = π/6 + π/3 + √3 = (π + 2√3) / 6
Ответ: площадь общей части двух кругов с радиусами 1 и √3, расстояние между центрами которых равно 2, равна (π + 2√3) / 6.
