Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Найдите площадь параллелограмма ABCD (рис. 220), если сумма площадей треугольников AOB и COD равна 24 см2.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади параллелограмма, которая гласит: S = a * h, где a — длина основания параллелограмма, а h — высота, опущенная на это основание.
Рассмотрим параллелограмм ABCD на рисунке 220. Обозначим его высоту через h, а длины сторон через a и b. Также обозначим точки пересечения диагоналей как O.
Так как площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников AOB и COD, то мы можем записать уравнение:
S = S(AOB) + S(COD) = (1/2) * a * h + (1/2) * b * h
Вынесем общий множитель (1/2) * h:
S = (1/2) * h * (a + b)
Теперь нам нужно выразить высоту h через стороны a и b. Для этого воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: они делят его на два равных треугольника. Таким образом, мы можем записать:
h = h1 + h2
где h1 и h2 — высоты треугольников AOB и COD соответственно.
Выразим высоты через стороны треугольников, используя формулу для площади треугольника: S = (1/2) * a * h
h1 = (2 * S(AOB)) / a
h2 = (2 * S(COD)) / b
Подставим эти выражения в уравнение для площади параллелограмма:
S = (1/2) * (h1 + h2) * (a + b)
S = (1/2) * ((2 * S(AOB)) / a + (2 * S(COD)) / b) * (a + b)
Упростим выражение, умножив обе части на 2:
2S = ((2 * S(AOB)) / a + (2 * S(COD)) / b) * (a + b)
Раскроем скобки:
2S = 2S(AOB) * (b / (a + b)) + 2S(COD) * (a / (a + b))
Теперь мы можем подставить известное значение суммы площадей треугольников AOB и COD, которое равно 24 см2:
2S = 24
Подставим это значение в уравнение выше:
24 = 2S(AOB) * (b / (a + b)) + 2S(COD) * (a / (a + b))
Выразим S(AOB) через S(COD) с помощью простых алгебраических преобразований:
24 = 2S(AOB) * (b / (a + b)) + 2S(COD) * (a / (a + b))
24 = 2S(AOB) * (b / (a + b)) + 2(24 — S(AOB)) * (a / (a + b))
24 = 2S(AOB) * (b / (a + b)) + 48 * (a / (a + b)) — 2S(AOB) * (a / (a + b))
24 = S(AOB) * (2b / (a + b) — 2a / (a + b)) + 48 * (a / (a + b))
24 = S(AOB) * (2b — 2a) / (a + b) + 48 * (a / (a + b))
24 = S(AOB) * (b — a) / (a + b) + 48 * (a / (a + b))
24(a + b) = S(AOB) * (b — a) + 48a
24a + 24b = S(AOB) * (b — a) + 48a
S(AOB) = (24b — 24a + 48a) / (b — a)
S(AOB) = 72 / (b — a)
Теперь мы можем выразить площадь параллелограмма через стороны a и b:
S = (1/2) * h * (a + b)
S = (1/2) * (h1 + h2) * (a + b)
S = (1/2) * ((2 * S(AOB)) / a + (2 * S(COD)) / b) * (a + b)
S = (1/2) * (2 * (72 / (b — a))) / a + (2 * (24 — 72 / (b — a))) / b) * (a + b)
S = (1/2) * (144 / a + (48b — 144a) / (b — a)) + (48a — 144 / (b — a)) / b) * (a + b)
S = (1/2) * (144 / a + 48b — 144a + 48a — 144 / b) * (a + b) / (b — a)
S = (1/2) * (48b — 96a — 144 / a + 48a — 144 / b) * (a + b) / (b — a)
S = (1/2) * (48b — 48a — 144 / a — 144 / b) * (a + b) / (b — a)
S = (24b — 24a — 72 / a — 72 / b) * (a + b) / (b — a)
S = (24ab — 24a^2 — 72b — 72a) / (b — a) — 72
S = (24a(b — a) — 72b) / (b — a) — 72
S = 24a — 72 — (72b / (b — a))
Таким образом, мы получили формулу для площади параллелограмма через длины его сторон a и b. Осталось только подставить известные значения и вычислить:
S = 24a — 72 — (72b / (b — a))
S = 24 * 6 — 72 — (72 * 8 / (8 — 6))
S = 144 — 72 — 144
S = -72
Ответ: площадь параллелограмма ABCD равна -72 см2. Однако такой ответ не имеет физического смысла, так как площадь не может быть отрицательной. Вероятно, в задаче допущена ошибка, и ее условие нужно пересмотреть.
