Вопрос школьника
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти радиус и высоту цилиндра.
Из условия задачи известно, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и составляет с образующей угол величиной 30 градусов.
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, образующей и радиусом цилиндра. Этот треугольник является прямоугольным, так как диагональ является гипотенузой, а образующая и радиус являются катетами.
Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:
$r^2 + h^2 = 8^2$ — уравнение Пифагора для треугольника
$tan 30^circ = frac{r}{h}$ — определение тангенса угла между образующей и радиусом
Решая эти уравнения относительно $r$ и $h$, получаем:
$r = h tan 30^circ$
$h = frac{8}{sqrt{1 + tan^2 30^circ}}$
$r = frac{8 tan 30^circ}{sqrt{1 + tan^2 30^circ}}$
$r = 4sqrt{3}$
$h = frac{8}{sqrt{1 + frac{1}{3}}} = frac{8sqrt{3}}{2} = 4sqrt{3}$
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра, используя формулу:
$S = 2pi rh + 2pi r^2$
$S = 2pi cdot 4sqrt{3} cdot 4sqrt{3} + 2pi cdot (4sqrt{3})^2$
$S = 96pi + 96pi = 192pi$
Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $192pi$ квадратных сантиметров.
