Вопрос школьника
Найдите площадь правильного восьмиугольника, если площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу восьмиугольника, равна 2п.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно знать формулу площади кругового сектора и формулу площади правильного восьмиугольника.
Формула площади кругового сектора:
S = (πr² * α) / 360°
где S — площадь сектора, r — радиус круга, α — центральный угол в градусах.
Формула площади правильного восьмиугольника:
S = 2a²(1 + √2)
где S — площадь восьмиугольника, a — длина стороны.
Из условия задачи мы знаем, что площадь кругового сектора равна 2π. Пусть радиус круга равен r, а центральный угол равен α. Тогда мы можем записать:
2π = (πr² * α) / 360°
Упрощая выражение, получаем:
α = 720° / r²
Теперь мы можем найти длину стороны правильного восьмиугольника. Для этого нам нужно знать, какой угол соответствует одной из вершин восьмиугольника. Так как восьмиугольник правильный, то все его углы равны между собой и равны 135° (360° / 8). Угол между двумя соседними сторонами восьмиугольника равен 45° (половина 90° — угла между двумя диагоналями). Тогда мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором один угол равен 45°, а гипотенуза равна длине стороны восьмиугольника. Из этого треугольника мы можем найти:
a = r / √2
Теперь мы можем подставить найденное значение a в формулу для площади правильного восьмиугольника:
S = 2a²(1 + √2) = 2(r² / 2)(1 + √2) = r²(1 + √2)
Таким образом, мы получили формулу для площади правильного восьмиугольника через радиус круга. Подставляя в нее значение α, которое мы нашли ранее, получаем:
S = (720° / r²) * (1 + √2) * r² / 4
Упрощая выражение, получаем:
S = 180° * (1 + √2)
Таким образом, площадь правильного восьмиугольника равна 180° * (1 + √2). Ответ: S = 180° * (1 + √2).
