Вопрос школьника
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 2м и 5м
Ответ от учителя
Прямоугольный треугольник имеет две катеты и гипотенузу. Радиус вписанной окружности равен половине периметра треугольника, деленному на его площадь. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда площадь треугольника равна S = ab/2, а периметр равен P = a + b + c.
Из равенства радиусов вписанной и описанной окружностей следует, что 2r = c/(a+b-c) и r = c/2. Решая эти уравнения относительно a, b и c, получаем:
a = 4r/(1+r/2)
b = 4r/(1+r/2)
c = 8r/(1+r)
Подставляя эти значения в формулу для площади треугольника, получаем:
S = ab/2 = 8r^2/(1+r)^2
Теперь подставляем известные значения радиусов в эту формулу:
S = 8*2^2/(1+2)^2 = 8/9 м^2
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 8/9 м^2.
