Вопрос школьника
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 3 см и 27 см.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенузу c. Тогда по теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2
Высота h, проведенная к гипотенузе, разбивает треугольник на два подобных треугольника. Поэтому отношение длины отрезка гипотенузы, лежащего между вершиной и точкой пересечения высоты с гипотенузой, к длине всей гипотенузы равно отношению длины высоты к длине другого отрезка гипотенузы:
c/27 = h/c
c^2 = 27h
Аналогично, отношение длины отрезка гипотенузы, лежащего между точкой пересечения высоты с гипотенузой и основанием, к длине всей гипотенузы равно отношению длины другого отрезка гипотенузы к длине высоты:
3/c = h/b
3b = ch
Из этих двух уравнений можно выразить h через b:
h = 3c/b
Подставляя это выражение для h в уравнение c^2 = 27h, получаем:
c^2 = 81c/b
b = 81c/c^2 = 81/c
Теперь можно найти площадь треугольника:
S = ab/2 = (bc/2)/2 = bc/4 = (81c^2)/4c = 81c/4
Осталось найти длину гипотенузы c. Из уравнения c^2 = 27h следует, что c = sqrt(27h) = 3sqrt(3) см. Подставляя это значение в формулу для площади, получаем:
S = 81c/4 = 81*3sqrt(3)/4 = 60.75 см^2
Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна 60.75 см^2.
