Вопрос школьника
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
а) Для нахождения площади равнобедренной трапеции с меньшим основанием 18 см и высотой 9 см, нам нужно знать длину большего основания. Мы можем найти её, используя тот факт, что острый угол равен 45° и трапеция равнобедренная.
Для начала, нарисуем трапецию и обозначим её основания и высоту:
«`
/
/
/
/______
«`
Меньшее основание равно 18 см, а высота равна 9 см. Мы можем найти длину большего основания, используя теорему Пифагора:
«`
/
/
/
/______
9 см
«`
Здесь мы обозначили длину большего основания как b. Мы знаем, что острый угол равен 45°, поэтому мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника:
«`
/|
/ |
/ |
/___|___
b
«`
В каждом из этих треугольников гипотенуза равна b, а катеты равны 9 см. По теореме Пифагора:
«`
b^2 = 9^2 + 9^2
b^2 = 162
b = √162
b = 12√2
«`
Теперь мы знаем длину обоих оснований и высоту, поэтому мы можем найти площадь трапеции:
«`
S = (a + b) * h / 2
S = (18 + 12√2) * 9 / 2
S ≈ 170.91 см^2
«`
Ответ: площадь равнобедренной трапеции с меньшим основанием 18 см, высотой 9 см и острым углом 45° равна примерно 170.91 см^2.
б) Для нахождения площади равнобедренной трапеции с основаниями 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны, нам нужно найти высоту трапеции.
Для начала, нарисуем трапецию и обозначим её основания и диагонали:
«`
/
/
/
/______
16 см 30 см
«`
Мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, используя диагонали:
«`
/|
/ |
/ |
/___|___
16 см 30 см
«`
Здесь мы обозначили высоту трапеции как h. Мы знаем, что трапеция равнобедренная, поэтому мы можем найти длину боковой стороны, используя теорему Пифагора:
«`
/|
/ |
/ |
/___|___
16 см 30 см
«`
Здесь мы обозначили длину боковой стороны как a. Мы знаем, что трапеция равнобедренная, поэтому длина боковой стороны равна половине разности длин оснований:
«`
a = (30 — 16) / 2
a = 7 см
«`
Теперь мы можем найти высоту трапеции, используя один из прямоугольных треугольников:
«`
/|
/ |
/ |
/___|___
16 см 30 см
«`
Мы знаем, что катеты равны a и h, а гипотенуза равна 16 см. По теореме Пифагора:
«`
h^2 + a^2 = 16^2
h^2 + 7^2 = 256
h^2 = 225
h = 15 см
«`
Теперь мы знаем длину обоих оснований и высоту, поэтому мы можем найти площадь трапеции:
«`
S = (a + b) * h / 2
S = (16 + 30) * 15 / 2
S = 540 см^2
«`
Ответ: площадь равнобедренной трапеции с основаниями 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны, равна 540 см^2.
