Вопрос школьника
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, а высота равна h. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то они делят трапецию на 4 прямоугольных треугольника. Пусть диагонали равны d1 и d2.
Тогда по теореме Пифагора для каждого из треугольников получаем:
(d1/2)^2 + h^2 = a^2
(d2/2)^2 + h^2 = b^2
Решая эту систему уравнений относительно d1 и d2, получаем:
d1 = 2 * sqrt(a^2 + h^2)
d2 = 2 * sqrt(b^2 + h^2)
Площадь трапеции равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников, которые образуются диагоналями и высотой:
S = (d1 * h)/2 + (d2 * h)/2
S = h/2 * (d1 + d2)
Подставляя значения d1 и d2, получаем:
S = h/2 * (2 * sqrt(a^2 + h^2) + 2 * sqrt(b^2 + h^2))
S = h * (sqrt(a^2 + h^2) + sqrt(b^2 + h^2))
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с высотой h и взаимно перпендикулярными диагоналями равна h * (sqrt(a^2 + h^2) + sqrt(b^2 + h^2)).
