Вопрос школьника
Найдите площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, если АС = 12 и АА1 = 4.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти высоту призмы, проходящую через середину ребра C1D1, а затем площадь треугольника BCD, образованного плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1.
Высота призмы, проходящая через середину ребра C1D1, равна половине диагонали грани А1C1D1. Так как призма правильная, то грани равны между собой и равны основанию ABCD. Значит, диагональ грани А1C1D1 равна диагонали основания AC, которая равна 12√2 (по теореме Пифагора). Следовательно, высота призмы равна 6√2.
Теперь найдем площадь треугольника BCD. Для этого нам нужно найти длину высоты, опущенной на сторону BC. Заметим, что треугольник BCD является прямоугольным, так как его стороны BC и CD являются перпендикулярными. Значит, высота, опущенная на сторону BC, равна BD.
Найдем длину BD. Так как призма правильная, то BD равно половине диагонали основания ABCD. Диагональ основания ABCD равна 12√2 (по теореме Пифагора). Следовательно, BD равно 6√2.
Теперь можем найти площадь треугольника BCD по формуле S = 1/2 * a * h, где a — основание, а h — высота, опущенная на это основание. В нашем случае a = BC = 12 (так как призма правильная), а h = BD = 6√2. Подставляя значения в формулу, получаем:
S = 1/2 * 12 * 6√2 = 36√2
Ответ: площадь сечения правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины В и D и середину ребра C1D1, равна 36√2.
