Вопрос школьника
Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота ВН = 12, sin А = 12/13,
sin С = 4/5 .
Ответ от учителя
Для начала, найдем длины сторон треугольника ABC. Используя теорему синусов, получаем:
AB/sin C = BC/sin A = AC/sin B
Заменяя значения синусов, получаем:
AB/4/5 = BC/12/13 = AC/3/5
Решая систему уравнений, находим:
AB = 16, BC = 48/5, AC = 36/5
Теперь найдем полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + AC)/2 = (16 + 48/5 + 36/5)/2 = 50/5 = 10
Также заметим, что высота BH равна 9 (по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH с гипотенузой AB и катетом BH).
Теперь можем найти площадь треугольника:
S = BH*AB/2 = 9*16/2 = 72
Используя формулу для площади треугольника через радиус вписанной окружности, получаем:
S = pr, где r — радиус вписанной окружности
Подставляя значения, находим:
72 = 10r
r = 7.2
Ответ: радиус вписанной окружности равен 7.2.
