Вопрос школьника
Найдите синусы острых углов равнобедренной трапеции, основания и боковая сторона которой соответственно равны:
а) 20, 38 и 15; б) 31, 47 и 17; в) 41, 61 и 20.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание теоремы косинусов, которая гласит: в любом треугольнике длина любой стороны равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон минус удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. То есть, если в треугольнике ABC стороны AB, AC и BC обозначить через a, b и c, а угол между сторонами AB и AC через α, то:
c² = a² + b² — 2ab cos α
Теперь рассмотрим каждый из трех случаев:
а) Основания равны 20 и 38, боковая сторона равна 15. Поскольку трапеция равнобедренная, то ее боковые стороны равны. Обозначим их через x. Тогда по теореме косинусов:
x² = 20² + 15² — 2*20*15*cos α
x² = 38² + 15² — 2*38*15*cos α
Выразим cos α из первого уравнения и подставим во второе:
cos α = (20² + 15² — x²) / (2*20*15)
x² = 38² + 15² — 2*38*15*((20² + 15² — x²) / (2*20*15))
x² = 38² + 15² — 2*38*15*(20² + 15² — x²) / (2*20*15)
x² = 38² + 15² — 2*38*15*(20² + 15²) / (2*20*15) + 2*38*15*x² / (2*20*15)
x² = 38² + 15² — 2*38*15*(20² + 15²) / (2*20*15 — 2*38*15)
x² = 38² + 15² — 2*38*15*(20² + 15²) / (-2*15)
x² = 38² + 15² + 2*38*20² / 3
x² = 38² + 15² + 2*38*400 / 3
x² = 38² + 15² + 3040/3
x² = 38² + 15² + 1013.(3)
x² ≈ 1059.11
Отсюда находим x ≈ 32.56. Теперь по теореме Пифагора находим высоту трапеции:
h² = 20² — (32.56 — 38/2)²
h² ≈ 225
h ≈ 15
Таким образом, синусы острых углов равнобедренной трапеции со сторонами 20, 38 и 15 равны 15/20 ≈ 0.75.
б) Основания равны 31 и 47, боковая сторона равна 17. Аналогично предыдущему случаю, обозначим боковые стороны через x и по теореме косинусов получим:
x² = 31² + 17² — 2*31*17*cos α
x² = 47² + 17² — 2*47*17*cos α
Выразим cos α из первого уравнения и подставим во второе:
cos α = (31² + 17² — x²) / (2*31*17)
x² = 47² + 17² — 2*47*17*((31² + 17² — x²) / (2*31*17))
x² = 47² + 17² — 2*47*17*(31² + 17² — x²) / (2*31*17)
x² = 47² + 17² — 2*47*17*(31² + 17²) / (2*31*17 — 2*47*17)
x² = 47² + 17² — 2*47*17*(31² + 17²) / (-32)
x² = 47² + 17² + 2*47*31² / 4
x² = 47² + 17² + 3451/4
x² ≈ 2026.25
Отсюда находим x ≈ 45.02. Теперь по теореме Пифагора находим высоту трапеции:
h² = 31² — (45.02 — 47/2)²
h² ≈ 225
h ≈ 15
Таким образом, синусы острых углов равнобедренной трапеции со сторонами 31, 47 и 17 равны 15/31 ≈ 0.48.
в) Основания равны 41 и 61, боковая сторона равна 20. Аналогично предыдущим случаям, обозначим боковые стороны через x и по теореме косинусов получим:
x² = 41² + 20² — 2*41*20*cos α
x² = 61² + 20² — 2*61*20*cos α
Выразим cos α из первого уравнения и подставим во второе:
cos α = (41² + 20² — x²) / (2*41*20)
x² = 61² + 20² — 2*61*20*((41² + 20² — x²) / (2*41*20))
x² = 61² + 20² — 2*61*20*(41² + 20² — x²) / (2*41*20)
x² = 61² + 20² — 2*61*20*(41² + 20²) / (2*41*20 — 2*61*20)
x² = 61² + 20² — 2*61*20*(41² + 20²) / (-40)
x² = 61² + 20² + 2*61*41² / 4
x² = 61² + 20² + 10081/4
x² ≈ 4225.25
Отсюда находим x ≈ 65.02. Теперь по теореме Пифагора находим высоту трапеции:
h² = 41² — (65.02 — 61/2)²
h² ≈ 961
h ≈ 31
Таким образом, синусы острых углов равнобедренной трапеции со сторонами 41, 61 и 20 равны 31/41 ≈ 0.76.
