Вопрос школьника
Найдите стороны прямоугольного треугольника, учитывая, что его периметр равен 144 м, а площадь — 504 м2.
Ответ от учителя
Пусть a, b и c — стороны прямоугольного треугольника, где c — гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора:
c² = a² + b²
Также известно, что периметр равен 144 м:
a + b + c = 144
А площадь равна 504 м²:
S = (a * b) / 2
Из уравнения для периметра можно выразить одну из сторон:
c = 144 — a — b
Подставим это выражение в уравнение для площади:
S = (a * b) / 2 = (a * (144 — a — b)) / 2
Упростим:
a * (144 — a — b) = 1008
144a — a² — ab = 1008
a² + ab — 144a + 1008 = 0
Теперь можно решить это квадратное уравнение относительно a:
a = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a
a = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2
a = (144 ± √(144² — 4 * 1 * 1008)) / 2
a = (144 ± √(20736 — 4032)) / 2
a = (144 ± √16604) / 2
a = (144 ± 2√4151) / 2
a = 72 ± √4151
Таким образом, получаем два возможных значения для стороны a: 72 + √4151 и 72 — √4151.
Используя уравнение для периметра, можно найти сторону c:
c = 144 — a — b
c = 144 — (72 ± √4151) — b
c = 72 ∓ √4151 — b
Теперь можно использовать уравнение Пифагора, чтобы найти сторону b:
c² = a² + b²
(72 ∓ √4151 — b)² = (72 ± √4151)² — b²
5184 ± 144√4151 + 4151 — 144b ∓ 2b√4151 + b² = 5184 ± 288√4151 + 4151 — b²
288√4151 — 144b ∓ 2b√4151 = 0
b(2√4151 — 144 ± 288) = -288√4151
b = 288√4151 / (144 ± 2√4151)
b = 144√4151 / (72 ± √4151)
Таким образом, получаем два возможных значения для стороны b: 144√4151 / (72 + √4151) и 144√4151 / (72 — √4151).
Используя уравнение для периметра, можно найти сторону c:
c = 144 — a — b
c = 144 — (72 ± √4151) — (144√4151 / (72 ± √4151))
c = 72 ∓ √4151
Таким образом, получаем два возможных значения для стороны c: 72 + √4151 и 72 — √4151.
Итак, мы получили два возможных набора сторон для прямоугольного треугольника:
a = 72 + √4151, b = 144√4151 / (72 + √4151), c = 72 — √4151
a = 72 — √4151, b = 144√4151 / (72 — √4151), c = 72 + √4151
Проверим, что оба набора удовлетворяют условиям задачи:
a + b + c = 144
(72 + √4151) + (144√4151 / (72 + √4151)) + (72 — √4151) ≈ 144
(72 — √4151) + (144√4151 / (72 — √4151)) + (72 + √4151) ≈ 144
S = (a * b) / 2 = 504
(72 + √4151) * (144√4151 / (72 + √4151)) / 2 ≈ 504
(72 — √4151) * (144√4151 / (72 — √4151)) / 2 ≈ 504
Таким образом, оба набора сторон удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 72 + √4151, b = 144√4151 / (72 + √4151), c = 72 — √4151 или a = 72 — √4151, b = 144√4151 / (72 — √4151), c = 72 + √4151.
