Вопрос школьника
Найдите трехзначное и четырехзначное числа, учитывая, что их сумма равна 1576, а сумма обращенных чисел равна 4375.
Ответ от учителя
Пусть трехзначное число имеет вид abc, где a, b и c — цифры числа. Тогда четырехзначное число имеет вид abcd.
Из условия задачи следует, что:
abc + abcd = 1576
abc + dcba = 4375
Вычтем из второго уравнения первое:
dcba — abcd = 2799
Заметим, что dcba — abcd = 999(d — a) + 90(c — b). Так как 999(d — a) + 90(c — b) = 2799, то d — a = 3 и c — b = 1.
Теперь можем перейти к решению системы уравнений:
abc + abcd = 1576
abc + dcba = 4375
d — a = 3
c — b = 1
Из уравнения d — a = 3 следует, что d = a + 3. Подставим это в уравнение abc + abcd = 1576:
abc + abca + 3bc = 1576
4bc + abc = 1576
Так как b и c — цифры, то 4bc + abc < 4*100 + 9*9 = 436. Значит, abc < 109. Таким образом, мы получили ограничение на трехзначное число abc: 100 ≤ abc < 109. Теперь можем перебрать все возможные значения abc и найти соответствующие значения abcd: abc = 100, abcd = 1476 abc = 101, abcd = 1575 abc = 102, abcd = 1674 abc = 103, abcd = 1773 abc = 104, abcd = 1872 abc = 105, abcd = 1971 abc = 106, abcd = 2070 abc = 107, abcd = 2169 abc = 108, abcd = 2268 Таким образом, мы получили девять пар чисел: (100, 1476), (101, 1575), (102, 1674), (103, 1773), (104, 1872), (105, 1971), (106, 2070), (107, 2169) и (108, 2268). Ответ: трехзначное число может быть равно 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107 или 108, а соответствующее четырехзначное число будет равно 1476, 1575, 1674, 1773, 1872, 1971, 2070, 2169 или 2268.
