Вопрос школьника
Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?
Ответ от учителя
Пусть углы четырёхугольника равны A, B, C и D. Тогда по условию задачи:
A : B : C = 4 : 5 : 7
и
D = (A + B + C) / 2
Можно записать систему уравнений:
A = 4x
B = 5x
C = 7x
D = (4x + 5x + 7x) / 2 = 8x
где x — некоторый коэффициент пропорциональности.
Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов, поэтому:
A + B + C + D = 360
Подставляя выражения для углов, получаем:
4x + 5x + 7x + 8x = 360
24x = 360
x = 15
Тогда:
A = 4x = 60 градусов
B = 5x = 75 градусов
C = 7x = 105 градусов
D = 8x = 120 градусов
Ответ: углы четырёхугольника равны 60, 75, 105 и 120 градусов.
Четырёхугольник является выпуклым, если все его углы меньше 180 градусов. В данном случае все углы меньше 180 градусов, поэтому четырёхугольник является выпуклым.
