Вопрос школьника
Найдите углы параллелограмма с площадью 24 см2, если его высота, проведенная из вершины, делит основание параллелограмма на отрезки 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла.
Ответ от учителя
Пусть основание параллелограмма равно AB, а высота, проведенная из вершины C, делит его на отрезки AD и BC, причем AD = 3 см, а BC = 5 см. Также пусть угол ACD равен α, а угол BCD равен β.
Так как высота, проведенная из вершины, является перпендикуляром к основанию, то площадь параллелограмма равна произведению длины основания AB на высоту CD, т.е.
S = AB × CD
Но так как высота CD делит основание на отрезки AD и BC, то CD = AD + BC = 3 + 5 = 8 см. Подставляя это значение в формулу для площади, получаем:
24 см2 = AB × 8 см
Отсюда AB = 3 см.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Он прямоугольный, так как угол ACD равен прямому углу (высота проведена из вершины). Поэтому применим теорему Пифагора:
AC2 = AD2 + CD2
AC2 = 32 + 82 = 9 + 64 = 73
AC = √73 см
Так как угол ACD равен α, то угол ADC равен 90° — α. Рассмотрим теперь треугольник ABC. Он также прямоугольный, так как угол BCD равен прямому углу. Применим теорему Пифагора:
BC2 = BD2 + CD2
BC2 = (AB — AD)2 + CD2
BC2 = (3 см)2 + 82 = 9 + 64 = 73
BC = √73 см
Так как угол BCD равен β, то угол BDC равен 90° — β.
Таким образом, мы нашли длины сторон AC и BC параллелограмма, а также углы ADC и BDC. Осталось найти углы параллелограмма A и B.
Угол A равен сумме углов ADC и BCD, т.е.
A = α + β
Угол B равен сумме углов BDC и ACD, т.е.
B = (90° — β) + (90° — α) = 180° — (α + β)
Таким образом, ответ: угол A равен сумме углов ADC и BCD, т.е. A = α + β, а угол B равен 180° минус сумма углов ADC и BCD, т.е. B = 180° — (α + β).
