Вопрос школьника
Найдите углы треугольника ΔА1В1С1, если ΔABC ∼ ΔAlBlC1 причём стороне АВ соответствует сторона А1В1 и стороне ВС соответствует сторона B1C1 ∠A = 25°, ∠B = 70°.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольники ΔABC и ΔA1B1C1 подобны, то есть соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Так как стороне АВ соответствует сторона А1В1, а стороне ВС соответствует сторона B1C1, то можно записать следующие пропорции:
AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1
Известны углы ∠A = 25° и ∠B = 70°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол ∠C = 180° — 25° — 70° = 85°.
Теперь можно использовать пропорции для нахождения остальных углов треугольника ΔA1B1C1.
AB/A1B1 = BC/B1C1
AB/AC = A1B1/A1C1
AB/AC = A1B1/B1C1 * B1C1/A1C1
AB/AC = AB1/BC1 * AC1/AA1
AB1/BC1 = AB/AC * AA1/AC1
AB1/BC1 = (AB/AC) * (1/sinA) * (sinC/sinB)
AB1/BC1 = (AB/AC) * (1/sin25°) * (sin85°/sin70°)
AB1/BC1 ≈ 0.63
Так как сторона A1B1 соответствует стороне AB, то можно записать:
A1B1 = AB * 0.63
Аналогично, так как сторона B1C1 соответствует стороне BC, то можно записать:
B1C1 = BC * 0.63
Теперь можно использовать теорему косинусов для нахождения углов треугольника ΔA1B1C1:
cosA1 = (B1C1² + A1B1² — A1C1²) / (2 * B1C1 * A1B1)
cosB1 = (A1C1² + A1B1² — B1C1²) / (2 * A1C1 * A1B1)
cosC1 = (A1C1² + B1C1² — A1B1²) / (2 * A1C1 * B1C1)
Подставляя известные значения, получаем:
cosA1 = (0.63² * BC² + AB² * 0.63² — AC²) / (2 * 0.63 * AB * BC) ≈ 0.758
cosB1 = (AC² + AB² * 0.63² — 0.63² * BC²) / (2 * AC * AB * 0.63) ≈ 0.926
cosC1 = (AC² + 0.63² * BC² — AB² * 0.63²) / (2 * AC * BC * 0.63) ≈ 0.982
Используя таблицу значений косинусов, находим углы:
∠A1 ≈ 41.5°
∠B1 ≈ 22.6°
∠C1 ≈ 115.9°
Таким образом, углы треугольника ΔA1B1C1 равны:
∠A1 ≈ 41.5°
∠B1 ≈ 22.6°
∠C1 ≈ 115.9°
