Вопрос школьника
Найдите угол между радиусами О А и ОВ круга, если расстояние от центра О окружности к хорды АВ в 2 раза меньше:
1) длины хорды АВ; 2) радиуса круга
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о перпендикулярности радиуса и хорды, а также теорему косинусов.
1) Пусть длина хорды АВ равна L. Тогда, по условию задачи, расстояние от центра О окружности к хорде АВ равно L/2. Обозначим эту величину через h.
Из теоремы о перпендикулярности радиуса и хорды следует, что радиус ОА перпендикулярен к хорде АВ в ее середине, то есть делит ее пополам. Значит, длина отрезка ОА равна L/2.
Теперь рассмотрим треугольник ОАВ. Из теоремы косинусов имеем:
cos(∠ОАВ) = (ОА² + АВ² — ОВ²) / (2*ОА*АВ)
Подставляя значения, получаем:
cos(∠ОАВ) = ((L/2)² + L² — R²) / (2*(L/2)*L) = (5L² — 4R²) / (4L²)
Теперь найдем синус угла ∠ОАВ. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ОАС, где С — середина хорды АВ:
ОС² = ОА² — h² = (L/2)² — (L/4)² = 3L²/16
Тогда ОС = √(3L²/16) = √(3)L/4
Из теоремы о перпендикулярности радиуса и хорды следует, что радиус ОВ перпендикулярен к хорде АВ в точке С. Значит, треугольник ОВС прямоугольный, и мы можем использовать теорему синусов:
sin(∠ОАВ) = ОС / ОВ = √(3)L/4R
Теперь мы можем найти угол ∠ОАВ, используя формулу:
∠ОАВ = arccos((5L² — 4R²) / (4L²)) — arcsin(√(3)L/4R)
2) Пусть радиус круга равен R. Тогда, по условию задачи, расстояние от центра О окружности к хорде АВ равно L/2 = R/2.
Аналогично предыдущему пункту, из теоремы о перпендикулярности радиуса и хорды следует, что длина отрезка ОА равна R/2.
Рассмотрим треугольник ОАВ. Из теоремы косинусов имеем:
cos(∠ОАВ) = (ОА² + АВ² — ОВ²) / (2*ОА*АВ)
Подставляя значения, получаем:
cos(∠ОАВ) = (R² + L² — 4R²) / (2*(R/2)*L) = (L² — 3R²) / (2RL)
Теперь найдем синус угла ∠ОАВ. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ОАС, где С — середина хорды АВ:
ОС² = ОА² — h² = (R/2)² — (L/4)² = R²/4 — L²/16
Тогда ОС = √(R²/4 — L²/16)
Из теоремы о перпендикулярности радиуса и хорды следует, что радиус ОВ перпендикулярен к хорде АВ в точке С. Значит, треугольник ОВС прямоугольный, и мы можем использовать теорему синусов:
sin(∠ОАВ) = ОС / ОВ = √(R²/4 — L²/16) / R
Теперь мы можем найти угол ∠ОАВ, используя формулу:
∠ОАВ = arccos((L² — 3R²) / (2RL)) — arcsin(√(R²/4 — L²/16) / R)
