Вопрос школьника
Найдите уравнение астроиды, которая является траекторией движения точки, закреплённой на окружности, катящейся с внутренней стороны по другой окружности в 4 раза большего радиуса (рис. 76.9).
Ответ от учителя
Для начала, обозначим радиусы окружностей как r и 4r соответственно. Пусть точка на внутренней окружности находится на расстоянии x от начала координат, а ее координаты находятся на расстоянии y от оси OY. Тогда, в соответствии с описанием задачи, точка на внешней окружности находится на расстоянии 5r от начала координат и ее координаты находятся на расстоянии y от оси OY.
Для того, чтобы найти уравнение астроиды, нужно выразить координаты точки на внутренней окружности через параметр t, который будет отвечать за угол поворота этой окружности. Так как окружность катится по другой окружности, то ее угол поворота будет зависеть от угла поворота внешней окружности. Пусть угол поворота внешней окружности равен φ, тогда угол поворота внутренней окружности будет равен 4φ.
Таким образом, координаты точки на внутренней окружности можно выразить следующим образом:
x = r cos(4φ)
y = r sin(4φ)
Для того, чтобы получить уравнение астроиды, нужно выразить φ через x и y. Для этого можно воспользоваться следующими тригонометрическими соотношениями:
cos(4φ) = cos^4(φ) — 6cos^2(φ)sin^2(φ) + sin^4(φ)
sin(4φ) = 4cos^3(φ)sin(φ) — 4cos(φ)sin^3(φ)
Подставляя эти соотношения в выражения для x и y, получим:
x = r(cos^4(φ) — 6cos^2(φ)sin^2(φ) + sin^4(φ))
y = r(4cos^3(φ)sin(φ) — 4cos(φ)sin^3(φ))
Для удобства, можно заменить sin(φ) на sqrt(1 — cos^2(φ)), тогда получим:
x = r(cos^4(φ) — 6cos^2(φ)(1 — cos^2(φ)) + (1 — cos^2(φ))^2)
y = r(4cos^3(φ)sqrt(1 — cos^2(φ)) — 4cos(φ)(1 — cos^2(φ))sqrt(1 — cos^2(φ)))
Упрощая эти выражения, получим:
x = r(3cos^2(φ) — 1)^2
y = r(3cos^2(φ) — 1)sqrt(1 — cos^2(φ))
Таким образом, уравнение астроиды имеет вид:
(x/r)^(2/3) + (y/r)^(2/3) = 8^(2/3)
где r — радиус внутренней окружности.
