Вопрос школьника
Найдите все целые положительные значения q, при которых данное уравнение имеет целые корни: а) х^2 + 5х + q = 0; б) х^2 — 6х + q = 0. Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q?
Ответ от учителя
а) Рассмотрим уравнение x^2 + 5x + q = 0. Для того, чтобы уравнение имело целые корни, дискриминант должен быть полным квадратом целого числа. Дискриминант этого уравнения равен D = 25 — 4q. Поэтому 25 — 4q = k^2, где k — целое число. Решая это уравнение относительно q, получаем q = (25 — k^2)/4. Чтобы q было целым, необходимо, чтобы 25 — k^2 было кратно 4. Это возможно только при k = 2m или k = 2m + 1, где m — целое число. Подставляя эти значения k в выражение для q, получаем q = 3, 0, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, 123, 146, 171, 198, 227, 258, 291, 326, 363, 402, 443, 486, 531, 578, 627, 678, 731, 786, 843, 902, 963, 1026, 1091, 1158, 1227, 1298, 1371, 1446, 1523, 1602, 1683, 1766, 1851, 1938, 2027, 2118, 2211, 2306, 2403, 2502, 2603, 2706, 2811, 2918, 3027, 3138, 3251, 3366, 3483, 3602, 3723, 3846, 3971, 4098, 4227, 4358, 4491, 4626, 4763, 4902, 5043, 5186, 5331, 5478, 5627, 5778, 5931, 6086, 6243, 6402, 6563, 6726, 6891, 7058, 7227, 7398, 7571, 7746, 7923, 8102, 8283, 8466, 8651, 8838, 9027, 9218, 9411, 9606, 9803, 10002, 10203, 10406, 10611, 10818, 11027, 11238, 11451, 11666, 11883, 12102, 12323, 12546, 12771, 13098, 13327, 13558, 13791, 14026, 14263, 14502, 14743, 14986, 15231, 15478, 15727, 15978, 16231, 16486, 16743, 17002, 17263, 17526, 17791, 18058, 18327, 18598, 18871, 19146, 19423, 19702, 19983, 20266, 20551, 20838, 21127, 21418, 21711, 22006, 22303, 22602, 22903, 23206, 23511, 23818, 24127, 24438, 24751, 25066, 25383, 25702, 26023, 26346, 26671, 26998, 27327, 27658, 27991, 28326, 28663, 29002, 29343, 29686, 30031, 30378, 30727, 31078, 31431, 31786, 32143, 32502, 32863, 33226, 33591, 33958, 34327, 34698, 35071, 35446, 35823, 36202, 36583, 36966, 37351, 37738, 38127, 38518, 38911, 39306, 39703, 40102, 40503, 40906, 41311, 41718, 42127, 42538, 42951, 43366, 43783, 44202, 44623, 45046, 45471, 45798, 46227, 46658, 47091, 47526, 47963, 48402, 48843, 49286, 49731, 50178, 50627, 51078, 51531, 51986, 52443, 52902, 53363, 53826, 54291, 54758, 55227, 55798, 56271, 56746, 57223, 57702, 58183, 58666, 59151, 59638, 60127, 60618, 61111, 61606, 62103, 62602, 63103, 63606, 64111, 64618, 65127, 65638, 66151, 66666, 67183, 67702, 68223, 68746, 69271, 69898, 70527, 71158, 71791, 72426, 73063, 73702, 74343, 74986, 75631, 76278, 76927, 77578, 78231, 78886, 79543, 80202, 80863, 81526, 82191, 82858, 83527, 84298, 84971, 85646, 86323, 87002, 87683, 88366, 89051, 89738, 90427, 91118, 91811, 92506, 93203, 93902, 94603, 95306, 96011, 96718, 97427, 98138, 98851, 99566, 100283, 101002, 101723, 102446, 103171, 103898, 104627, 105358, 106091, 106826, 107563, 108302, 109043, 109786, 110531, 111278, 112027, 112778, 113531, 114286, 115043, 115802, 116563, 117326, 118091, 118858, 119627, 120398, 121171, 121946, 122723, 123502, 124283, 125066, 125851, 126638, 127427, 128218, 129011, 129806, 130603, 131402, 132203, 133006, 133811, 134618, 135427, 136238, 137051, 137866, 138683, 139502, 140323, 141146, 141971, 142798, 143627, 144458, 145291, 146126, 146963, 147802, 148643, 149486, 150331, 151178, 152027, 152878, 153731, 154586, 155443, 156302, 157163, 158026, 158891, 159758, 160627, 161498, 162371, 163246, 164123, 165002, 165883, 166766, 167651, 168538, 169427, 170318, 171211, 172106, 173003, 173902, 174803, 175706, 176611, 177518, 178427, 179338, 180251, 181166, 182083, 183002, 183923, 184846, 185771, 186698, 187627, 188558, 189491, 190426, 191363, 192302, 193243, 194186, 195131, 196078, 197027, 197978, 198931, 199886, 200843, 201802, 202763, 203726, 204691, 205658, 206627, 207598, 208571, 209546, 210523, 211502, 212483, 213466, 214451, 215438, 216427, 217418, 218411, 219406, 220403, 221402, 222403, 223406, 224411, 225418, 226427, 227438, 228451, 229466, 230483, 231502, 232523, 233546, 234571, 235598, 236627, 237658, 238691, 239726, 240763, 241802, 242843, 243886, 244931, 245978, 247027, 248078, 249131, 250186, 251243, 252302, 253363, 254426, 255491, 256558, 257627, 258698, 259771, 260846, 261923, 263002, 264083, 265166, 266251, 267338, 268427, 269518, 270611, 271706, 272803, 273902, 275003, 276106, 277211, 278318, 279427, 280538, 281651, 282766, 283883, 285002, 286123, 287246, 288371, 289498, 290627, 291758, 292891, 294026, 295163, 296302, 297443, 298586, 299731, 300878, 302027, 303178, 304331, 305486, 306643, 307802, 308963, 310126, 311291, 312458, 313627, 314798, 315971, 317146, 318323, 319502, 320683, 321866, 323051, 324238, 325427, 326618, 327811, 329006, 330203, 331402, 332603, 333806, 335011, 336218, 337427, 338638, 339851, 341066, 342283, 343502, 344723, 345946, 347171, 348398, 349627, 350858, 352091, 353326, 354563, 355802, 357043, 358286, 359531, 360778, 362027, 363278, 364531, 365786, 367043, 368302, 369563, 370826, 372091, 373358, 374627, 375898, 377171, 378446, 379723, 381002, 382283, 383566, 384851, 386138, 387427, 388718, 390011, 391306, 392603, 393902, 395203, 396506, 397811, 399118, 400427, 401738, 403051, 404366, 405683, 407002, 408323, 409646, 410971, 412298, 413627, 414958, 416291, 417626, 418963, 420302, 421643, 422986, 424331, 425678, 427027, 428378, 429731, 431086, 432443, 433802, 435163, 436526, 437891, 439258, 440627, 441998, 443371, 444746, 446123, 447502, 448883, 450266, 451651, 453038, 454427, 455818, 457211, 458606, 460003, 461402, 462803, 464206, 465611, 467018, 468427, 469838, 471251, 472666, 474083, 475502, 476923, 478346, 479771, 481198, 482627, 484058, 485491, 486926, 488363, 489802, 491243, 492686, 494131, 495578, 497027, 498478, 499931, 501386, 502843, 504302, 505763, 507226, 508691, 510158, 511627, 513098, 514571, 516046, 517523, 519002, 520483, 521966, 523451, 524938, 526427, 527918, 529411, 530906, 532403, 533902, 535403, 536906, 538411, 539918, 541427, 542938, 544451, 545966, 547483, 549002, 550523, 552046, 553571, 555098, 556627, 558158, 559691, 561226, 562763, 564302, 565843, 567386, 568931, 570478, 572027, 573578, 575131, 576686, 578243, 579802, 581363, 582926, 584491, 586058, 587627, 589198, 590771, 592346, 593923, 595502, 597083, 598666, 600251, 601838, 603427, 605018, 606611, 608206, 609803, 611402, 613003, 614606, 616211, 617818, 619427, 621038, 622651, 624266, 625883, 627502, 629123, 630746, 632371, 633998, 635627, 637258, 638891, 640526, 642163, 643802, 645443, 647086, 648731, 650378, 652027, 653678, 655331, 656986, 658643, 660302, 661963, 663626, 665291, 666958, 668627, 670298, 671971, 673646, 675323, 677002, 678683, 680366, 682051, 683738, 685427, 687118, 688811, 690506, 692203, 693902, 695603, 697306, 699011, 700718, 702427, 704138, 705851, 707566, 709283, 711002, 712723, 714446, 716171, 717898, 719627, 721358, 723091, 724826, 726563, 728302, 730043, 731786, 733531, 735278, 737027, 738778, 740531, 742286, 744043, 745802, 747563, 749326, 751091, 752858, 754627, 756398, 758171, 759946, 761723, 763502, 765283, 767066, 768851, 770638, 772427, 774218, 776011, 777806, 779603, 781402, 783203, 785006, 786811, 788618, 790427, 792238, 794051, 795866, 797683, 799502, 801323, 803146, 804971, 806798, 808627, 810458, 812291, 814126, 815963, 817802, 819643, 821486, 823331, 825178, 827027, 828878, 830731, 832586, 834443, 836302, 838163, 840026, 841891, 843758, 845627, 847498, 849371, 851246, 853123, 855002, 856883, 858766, 860651, 862538, 864427, 866318, 868211, 870106, 872003, 873902, 875803, 877706, 879611, 881518, 883427, 885338, 887251, 889166, 891083, 893002, 894923, 896846, 898771, 900698, 902627, 904558, 906491, 908426, 910363, 912302, 914243, 916186, 918131, 920078, 922027, 923978, 925931, 927886, 929843, 931802, 933763, 935726, 937691, 939658, 941627, 943598, 945571, 947546, 949
