Вопрос школьника
Найдите все натуральные числа, которые: а) при делении на 5 дают в остатке 4, а при делении на 2 дают в остатке 1; б) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2.
Ответ от учителя
а) Пусть искомое число равно $n$. Тогда по условию задачи $n equiv 4 pmod{5}$ и $n equiv 1 pmod{2}$. Из первого условия следует, что $n$ имеет вид $n = 5k + 4$, где $k$ — некоторое целое число. Подставляя это выражение во второе условие, получаем $5k + 4 equiv 1 pmod{2}$, что эквивалентно $k equiv 1 pmod{2}$. Таким образом, $k$ имеет вид $k = 2m + 1$, где $m$ — некоторое целое число. Подставляя это выражение в выражение для $n$, получаем $n = 5(2m + 1) + 4 = 10m + 9$. Таким образом, все искомые числа имеют вид $n = 10m + 9$, где $m$ — некоторое целое число.
б) Пусть искомое число равно $n$. Тогда по условию задачи $n equiv 3 pmod{5}$ и $n equiv 0 pmod{2}$. Из первого условия следует, что $n$ имеет вид $n = 5k + 3$, где $k$ — некоторое целое число. Подставляя это выражение во второе условие, получаем $5k + 3 equiv 0 pmod{2}$, что эквивалентно $k equiv 1 pmod{2}$. Таким образом, $k$ имеет вид $k = 2m + 1$, где $m$ — некоторое целое число. Подставляя это выражение в выражение для $n$, получаем $n = 5(2m + 1) + 3 = 10m + 8$. Таким образом, все искомые числа имеют вид $n = 10m + 8$, где $m$ — некоторое целое число.
