Вопрос школьника
Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 18 см.
Ответ от учителя
Пусть высота, проведенная из вершины прямого угла, равна h, а гипотенуза треугольника равна c. Тогда по теореме Пифагора имеем:
c^2 = a^2 + b^2,
где a и b — катеты треугольника. Так как треугольник прямоугольный, то один из катетов равен h, а другой — (c — 2) или (c — 18), в зависимости от того, какой отрезок делит гипотенузу.
Таким образом, у нас есть два уравнения:
c^2 = h^2 + (c — 2)^2,
c^2 = h^2 + (c — 18)^2.
Решая эти уравнения относительно h, получаем:
h = sqrt(c^2 — (c — 2)^2) = sqrt(4c — 4),
h = sqrt(c^2 — (c — 18)^2) = sqrt(324 — 36c + c^2).
Теперь остается найти значение c, для которого оба этих уравнения выполняются. Для этого можно составить уравнение:
sqrt(4c — 4) = sqrt(324 — 36c + c^2),
возвести обе части в квадрат и решить полученное квадратное уравнение. После решения получим два значения c: 20 и 26. Так как гипотенуза не может быть меньше 20 (иначе высота окажется отрицательной), то выбираем c = 26.
Тогда высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна:
h = sqrt(4c — 4) = sqrt(100) = 10 см.
