Вопрос школьника
Найти число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.
Сначала найдем общее решение системы уравнений:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 4 (mod 5)
Для этого составим новую систему уравнений:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 2) означает, что x имеет вид x = 2k + 1, где k — целое число.
x ≡ 2 (mod 3) означает, что x имеет вид x = 3m + 2, где m — целое число.
x ≡ 3 (mod 4) означает, что x имеет вид x = 4n + 3, где n — целое число.
x ≡ 4 (mod 5) означает, что x имеет вид x = 5p + 4, где p — целое число.
Подставим эти выражения во второе уравнение системы:
3m + 2 = 2k + 1
Выразим k через m:
k = (3m + 1) / 2
Подставим это выражение в третье уравнение системы:
4n + 3 = (3m + 1) / 2
Выразим m через n:
m = (8n + 5) / 3
Подставим это выражение в четвертое уравнение системы:
5p + 4 = (8n + 5) / 3
Выразим n через p:
n = (15p + 11) / 8
Теперь найдем частное решение системы уравнений. Для этого подставим выражение для n в предыдущее выражение:
m = (8n + 5) / 3 = (8(15p + 11) / 3 + 5) / 3 = 40p + 29
Подставим выражение для m в предыдущее выражение:
k = (3m + 1) / 2 = (3(40p + 29) + 1) / 2 = 60p + 44
Подставим выражение для k в первое уравнение системы:
x = 2k + 1 = 2(60p + 44) + 1 = 120p + 89
Таким образом, искомое число равно 120p + 89, где p — целое число.
