Вопрос школьника
Найти наибольшую длину волны λmax в ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость vmin должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?
Ответ от учителя
Для нахождения наибольшей длины волны λmax в ультрафиолетовой области спектра водорода можно воспользоваться формулой Бальмера:
1/λ = R(1/2^2 — 1/n^2)
где R — постоянная Ридберга, равная 1,0973731568508 × 10^7 м^-1, n — номер уровня энергии атома водорода (n=3 для ультрафиолетовой области спектра).
Подставляя значения в формулу, получаем:
1/λmax = R(1/2^2 — 1/3^2)
1/λmax = 1,0973731568508 × 10^7 м^-1 (1/4 — 1/9)
1/λmax = 1,0973731568508 × 10^7 м^-1 (5/36)
1/λmax = 1,215 × 10^6 м^-1
λmax = 8,24 × 10^-7 м (или 824 нм)
Чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия, электроны должны иметь достаточную скорость для преодоления энергетического барьера и перехода на более высокий уровень энергии. Энергия возбуждения атома водорода на уровень n равна:
En = -13,6/n^2 эВ
Для перехода с основного уровня (n=1) на уровень n=3 необходимо энергии:
E3 = -13,6/3^2 + 13,6/1^2 = -1,51 эВ
Соответствующая скорость электрона можно найти из закона сохранения энергии:
mv^2/2 = E3
v^2 = 2E3/m
v = √(2E3/m)
где m — масса электрона, равная 9,11 × 10^-31 кг.
Подставляя значения, получаем:
vmin = √(2 × 1,51 × 1,6 × 10^-19 / 9,11 × 10^-31) = 3,28 × 10^6 м/с
Таким образом, наименьшая скорость электронов, при которой возможно возбуждение атомов водорода ударами электронов и появление линии с λmax = 824 нм, равна 3,28 × 10^6 м/с.
