Вопрос школьника
Найти период малых колебаний поршня массой m, разделяющего гладкий цилиндрический закрытый объём радиусом r на две равные части, каждая из которых имеет длину х. По обе стороны поршня находится идеальный газ при нормальных условиях, температура газа в процессе колебаний не меняется.
Ответ от учителя
Период малых колебаний поршня можно найти, используя закон Гука для пружины, которой эквивалентен идеальный газ, находящийся по обе стороны поршня.
Для начала найдем силу, действующую на поршень со стороны газа. По закону Паскаля давление газа в закрытом объеме одинаково во всех точках, поэтому сила, действующая на поршень, равна произведению давления на площадь поршня:
F = P * S
где P — давление газа, S — площадь поршня.
Давление газа можно найти из уравнения состояния идеального газа:
PV = nRT
где P — давление газа, V — объем газа, n — количество вещества газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура газа.
Так как температура газа не меняется в процессе колебаний, то давление газа также остается постоянным. Подставляя выражение для давления в формулу для силы, получаем:
F = nRT / V * S
Объем газа можно выразить через высоту h каждой из частей цилиндра и радиус r:
V = πr^2h
Так как каждая из частей цилиндра имеет длину х, то высота каждой части равна h = x/2. Подставляя это выражение в формулу для объема, получаем:
V = πr^2x/2
Теперь можем выразить силу, действующую на поршень, через радиус и длину частей цилиндра:
F = nRT * S / (πr^2x/2)
Сила, действующая на поршень, эквивалентна силе пружины, которая определяется законом Гука:
F = -kx
где k — коэффициент упругости пружины, x — смещение поршня от положения равновесия.
Сравнивая два выражения для силы, можно найти коэффициент упругости пружины:
k = nRT * S / (-πr^2x/2)
Период колебаний поршня определяется формулой:
T = 2π * √(m/k)
Подставляя выражение для коэффициента упругости пружины, получаем:
T = 2π * √(m * (-πr^2x/2) / (nRT * S))
Упрощая выражение, получаем:
T = 2π * √(-mπr^2x / (2nRT))
Таким образом, период малых колебаний поршня зависит от массы поршня, радиуса и длины частей цилиндра, количества вещества газа и температуры.
