Вопрос школьника
Найти площадь равнобедренной трапеции, если её средняя линия равна 4, а косинус угла между диагональю и основанием равен 2/√5
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся формулы для площади трапеции и для длины диагонали.
Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле:
S = ((a + b) / 2) * h,
где a и b — основания трапеции, h — высота.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
m = (a + b) / 2.
Так как трапеция равнобедренная, то её диагонали равны. Обозначим длину диагонали через d.
Также нам дан косинус угла между диагональю и основанием:
cos(α) = 2/√5.
Из этого можно найти синус угла:
sin(α) = √(1 — cos²(α)) = √(1 — 4/5) = √(1/5) = √5/5.
Теперь мы можем найти длину диагонали, используя теорему косинусов:
d² = a² + b² — 2ab*cos(α).
Так как трапеция равнобедренная, то a = b, и формула упрощается:
d² = 2a² — 2a²*cos(α) = 2a²*(1 — cos(α)).
Подставляем известные значения:
d² = 2m²*(1 — cos(α)) = 2*4²*(1 — 2/√5) = 64*(√5 — 2)/5.
Теперь можем найти высоту трапеции, используя теорему Пифагора:
h² = d² — (a — b)²/4 = d² — m² = 64*(√5 — 2)/5 — 4² = 16*(√5 — 3).
Наконец, находим площадь трапеции:
S = ((a + b) / 2) * h = m * h = 4 * √(16*(√5 — 3)) = 8√(5 — 3√5) ≈ 3.31.
Ответ: площадь равнобедренной трапеции равна примерно 3.31.
