Вопрос школьника
Найти р и q, если парабола у = х^2 + px + q: 1) пересекает ось абсцисс в точках х = — 1/2 и х = 2/3; 2) касается оси абсцисс в точке х = -7; 3) пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке y= — 1.
Ответ от учителя
1) Поскольку парабола пересекает ось абсцисс в точках х = — 1/2 и х = 2/3, то у нее есть два корня: x1 = -1/2 и x2 = 2/3. Мы можем использовать эти значения, чтобы составить систему уравнений:
y = x^2 + px + q
y = 0 при x = -1/2
y = 0 при x = 2/3
Подставляя значения x1 и x2, мы получаем:
0 = (-1/2)^2 + p(-1/2) + q
0 = (2/3)^2 + p(2/3) + q
Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения p и q. Сначала мы можем выразить q из первого уравнения:
q = (-1/2)^2 + p(-1/2)
Затем мы можем подставить это выражение для q во второе уравнение:
0 = (2/3)^2 + p(2/3) + ((-1/2)^2 + p(-1/2))
Решая это уравнение относительно p, мы получаем:
p = -1/6
Затем мы можем подставить это значение p в первое уравнение, чтобы найти q:
q = (-1/2)^2 + (-1/6)(-1/2) = 1/12
Таким образом, парабола у = х^2 — (1/6)x + 1/12.
2) Поскольку парабола касается оси абсцисс в точке х = -7, то у нее есть единственный корень: x1 = -7. Мы можем использовать это значение, чтобы составить уравнение:
y = x^2 + px + q
y = 0 при x = -7
Подставляя значение x1, мы получаем:
0 = (-7)^2 + p(-7) + q
Решая это уравнение относительно q, мы получаем:
q = 49 + 7p
Затем мы можем использовать это выражение для q, чтобы найти значение p, поскольку парабола касается оси абсцисс:
0 = (-7)^2 + p(-7) + (49 + 7p)
Решая это уравнение относительно p, мы получаем:
p = -14/7 = -2
Затем мы можем подставить это значение p в выражение для q, чтобы найти q:
q = 49 + 7p = 49 — 14 = 35
Таким образом, парабола у = х^2 — 2x + 35.
3) Поскольку парабола пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке y = -1, то мы знаем, что у нее есть два корня: x1 = 2 и x2 = -2 (поскольку парабола симметрична относительно оси ординат). Мы также знаем, что у нее есть точка на оси ординат: y = -1 при x = 0. Мы можем использовать эти значения, чтобы составить систему уравнений:
y = x^2 + px + q
y = 0 при x = 2
y = 0 при x = -2
y = -1 при x = 0
Подставляя значения x1, x2 и x3, мы получаем:
0 = 2^2 + 2p + q
0 = (-2)^2 — 2p + q
-1 = 0 + 0 + q
Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения p и q. Сначала мы можем выразить q из третьего уравнения:
q = -1
Затем мы можем подставить это выражение для q в первые два уравнения:
0 = 2^2 + 2p — 1
0 = (-2)^2 — 2p — 1
Решая эти уравнения относительно p, мы получаем:
p = -3/2
Затем мы можем подставить это значение p в первое уравнение, чтобы найти q:
0 = 2^2 + 2(-3/2) — 1 + q
q = -1/2
Таким образом, парабола у = х^2 — (3/2)x — 1/2.
