Вопрос школьника
Найти величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать знания о свойствах правильных многогранников и тригонометрии.
Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата, а все её боковые грани равнобедренные треугольники. При этом, угол между боковыми ребрами и плоскостью основания равен 45 градусов.
Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Она является равнобедренным треугольником, у которого две стороны равны боковым ребрам пирамиды, а третья сторона равна половине длины диагонали основания квадрата. Обозначим длину бокового ребра пирамиды как a, а длину диагонали основания квадрата как d.
Используя теорему Пифагора для треугольника, можно выразить длину третьей стороны треугольника через длину бокового ребра и длину диагонали основания:
d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
Отсюда можно выразить длину диагонали основания через длину бокового ребра:
d = a√2
Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через боковое ребро пирамиды и диагональ основания, и обозначим угол между этой плоскостью и плоскостью основания как α. Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов, то угол между боковым ребром и плоскостью, проходящей через это ребро и диагональ основания, также равен 45 градусов. Таким образом, угол α равен 90 градусов минус 45 градусов, то есть α = 45 градусов.
Теперь рассмотрим правильный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, диагональю основания и высотой пирамиды, опущенной на это боковое ребро. Обозначим высоту пирамиды как h.
Используя теорему Пифагора для этого треугольника, можно выразить длину высоты через длину бокового ребра и длину диагонали основания:
h^2 = a^2 — (d/2)^2 = a^2 — (a√2/2)^2 = a^2 — a^2/2 = a^2/2
Отсюда можно выразить длину бокового ребра через высоту пирамиды:
a = h√2
Теперь рассмотрим правильный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, диагональю основания и высотой пирамиды, опущенной на основание пирамиды. Обозначим угол между боковым ребром и диагональю основания как β.
Используя тригонометрические соотношения для этого треугольника, можно выразить тангенс угла β через длины сторон:
tg β = h / (d/2) = 2h / d = 2h / (a√2) = √2
Отсюда можно выразить угол β:
β = arctg √2 = 45 градусов
Таким образом, угол между боковыми ребрами пирамиды равен 2β = 90 градусов.
