Вопрос школьника
Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет:
а) не менее половины.
б) менее половины;
Принять, что вероятность рождения мальчика равна 0,51.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением.
Пусть X — количество мальчиков среди 1000 новорожденных детей. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 1000 и p = 0,51.
а) Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет не менее половины.
Для этого нужно найти вероятность P(X ≥ 500). Можно воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения, так как n достаточно большое и p не слишком близко к 0 или 1.
Среднее значение биномиального распределения равно np = 1000 * 0,51 = 510, а стандартное отклонение равно sqrt(np(1-p)) = sqrt(1000 * 0,51 * 0,49) ≈ 15,8.
Тогда можно использовать нормальное распределение с параметрами μ = 510 и σ = 15,8.
P(X ≥ 500) ≈ P(Z ≥ (500 — 510) / 15,8) ≈ P(Z ≥ -0,63) ≈ 0,74, где Z — стандартная нормальная случайная величина.
Таким образом, вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет не менее половины, составляет около 0,74.
б) Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет менее половины.
Для этого нужно найти вероятность P(X < 500). Можно воспользоваться тем же нормальным приближением, но в этом случае нужно использовать левостороннюю область нормального распределения. P(X < 500) ≈ P(Z < (500 - 510) / 15,8) ≈ P(Z < -0,63) ≈ 0,26. Таким образом, вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет менее половины, составляет около 0,26.
