Вопрос школьника
Найти все значения r, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство (r^2-1)х^2 + 2(r-1)х + 2>0.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что коэффициент при x^2 равен r^2-1, который должен быть положительным, чтобы неравенство имело смысл. Таким образом, r должно удовлетворять неравенству r^2-1>0, что эквивалентно r<-1 или r>1.
Далее, рассмотрим выражение в скобках: (r^2-1)x^2 + 2(r-1)x + 2. Мы можем решить квадратное уравнение относительно x, чтобы найти его корни:
x = (-2(r-1) ± √(4(r-1)^2 — 8(r^2-1))) / 2(r^2-1)
x = -(r-1) ± √(r^2-2r+2)
Таким образом, неравенство будет выполнено, если оба корня будут либо оба положительными, либо оба отрицательными. Это произойдет, если дискриминант будет меньше или равен нулю:
4(r-1)^2 — 8(r^2-1) ≤ 0
4r^2 — 16r + 12 ≤ 0
r^2 — 4r + 3 ≤ 0
(r-1)(r-3) ≤ 0
Таким образом, неравенство будет выполнено, если r лежит в интервале [1,3]. Однако, мы также должны учитывать условие r<-1 или r>1, поэтому итоговый ответ будет:
r ∈ (-∞,-1) ∪ [1,3) ∪ (3,∞)
То есть, все значения r, меньшие -1 или большие 3, а также значение r, лежащее в интервале [1,3).
