Вопрос школьника
Найти зависимость x(t) при гармонических колебаниях, если амплитудное значение ускорения m х = 50 см/с2, частота колебаний ν = 0,5 Гц, смещение точки в начальный момент времени х0 = 25 мм. Определить значение максимальной скорости. Записать дифференциальное уравнение колебаний
Ответ от учителя
Для гармонических колебаний справедлива зависимость:
x(t) = A*cos(2πνt + φ) + x0,
где A — амплитуда колебаний, ν — частота колебаний, φ — начальная фаза колебаний, x0 — смещение точки в начальный момент времени.
Для определения A и φ воспользуемся данными задачи:
m х = 50 см/с^2 — амплитудное значение ускорения
ν = 0,5 Гц — частота колебаний
x0 = 25 мм — смещение точки в начальный момент времени
Ускорение можно выразить через вторую производную координаты:
m х = m d^2x/dt^2 = -m A (2πν)^2*cos(2πνt + φ)
Отсюда получаем:
A = m х / (m (2πν)^2) = х / (4π^2ν^2) = 0,05 м = 5 см
φ = arccos(m х / (m A (2πν)^2)) = arccos(1/4) = π/3
Таким образом, уравнение колебаний имеет вид:
x(t) = 5*cos(2π*0,5t + π/3) + 0,025 м
Максимальная скорость достигается в точке, где ускорение равно нулю, то есть при x = 0. В этой точке скорость максимальна и равна:
v_max = A*2πν = 5*2π*0,5 = 5π м/с
Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:
d^2x/dt^2 + 4π^2ν^2*x = 0
или
d^2x/dt^2 + ω^2*x = 0,
где ω = 2πν — круговая частота колебаний.
