Вопрос школьника
Накресліть кут МКЕ, який дорівнює 120°. Проведіть промінь КС так, щоб ∟MKC = 60°. Знайдіть кут СКЕ та вкажіть його вид. Скільки розв’язків має задача?
Ответ от учителя
Для накреслення кута МКЕ, спочатку потрібно намалювати пряму МК і знайти середину цього відрізка. Потім з центру середини МК зробити дугу радіусом, який дорівнює половині довжини МК, і перетин цієї дуги з прямою МК буде точкою Е. Далі потрібно провести промінь КС так, щоб ∟MKC = 60°. Для цього з точки К потрібно зробити дугу радіусом, який дорівнює довжині КМ, і перетин цієї дуги з прямою МК буде точкою С. Потім потрібно провести пряму СЕ і знайти кут СКЕ.
Кут СКЕ можна знайти за допомогою теореми косинусів, яка говорить, що квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів інших двох сторін мінус добуток цих сторін на косинус між ними. У нашому випадку, сторони трикутника СКЕ — це СК, КЕ і СЕ. СК і КЕ мають однакову довжину, тому можна позначити їх як х. Тоді СЕ дорівнює 2х (бо Е — це середина МК). Кут МКС дорівнює 60°, тому косинус цього кута дорівнює 0,5. Тоді за теоремою косинусів:
х^2 + х^2 — 2х^2 * 0,5 * cos(120°) = (2х)^2
2х^2 — х^2 * cos(120°) = 4х^2
х^2 * (3 — cos(120°)) = 4х^2
х^2 * (3 + 0,5) = 4х^2
х^2 = 4 / 3,5
х = √(4 / 3,5) ≈ 1,27
Тому СКЕ — це трикутник зі сторонами х, х і 2х, і кутом між сторонами х і 2х, який ми шукаємо. Цей кут можна знайти за допомогою теореми косинусів:
2х^2 — х^2 * cos(120°) = (2х)^2
2х^2 — х^2 * 0,5 = 4х^2
х^2 = 4
х = 2
Тому СКЕ — це трикутник зі сторонами 2, 2 і 4, і кутом між сторонами 2 і 4. Цей кут можна знайти за допомогою теореми косинусів:
4^2 = 2^2 + 2^2 — 2 * 2 * 2 * cos(∠СКЕ)
16 = 8 — 8cos(∠СКЕ)
cos(∠СКЕ) = (8 — 16) / (-16) = 0,5
∠СКЕ = arccos(0,5) ≈ 60°
Отже, кут СКЕ дорівнює 60° і є розв’язком задачі.
