Вопрос школьника
Накресліть відрізок АВ завдовжки 5 см. Побудуйте коло радіуса 3 см із центром А та коло радіуса 4 см із центром В. Скільки існує точок перетину кіл? Чому дорівнює відстань від кожної із них точок до точки А? до точки В?
Ответ от учителя
Для начала нарисуем отрезок АВ длиной 5 см:
Затем построим круг радиуса 3 см с центром в точке А и круг радиуса 4 см с центром в точке В:
Точки пересечения кругов обозначены на рисунке как С и D. Чтобы определить количество точек пересечения, можно воспользоваться формулой для нахождения площади пересечения двух окружностей:
S = r1^2 * arccos((d^2 + r1^2 — r2^2) / (2 * d * r1)) + r2^2 * arccos((d^2 + r2^2 — r1^2) / (2 * d * r2)) — 0.5 * sqrt((-d + r1 + r2) * (d + r1 — r2) * (d — r1 + r2) * (d + r1 + r2))
где r1 и r2 — радиусы кругов, d — расстояние между центрами кругов.
Подставляя значения r1 = 3, r2 = 4 и d = 5 в эту формулу, получаем:
S = 7.54 кв. см
Так как площадь пересечения двух окружностей не может быть больше, чем площадь меньшей из них (в данном случае это круг радиуса 3 см), то точек пересечения не может быть больше двух.
Точки пересечения находятся на расстоянии от центров кругов, равном расстоянию между центрами минус сумма радиусов. В данном случае расстояние между центрами равно 5 см, а сумма радиусов равна 7 см. Следовательно, расстояние от каждой точки пересечения до точки А или В равно 1 см (5 — 7 + 3 = 1 и 5 — 7 + 4 = 2).
