Вопрос школьника
Напишите уравнение плоскости:
а) удалённой на 2 от плоскости ху;
б) удалённой на 1 от плоскости х = 3;
в) равноудалённой от двух данных плоскостей у = 1 и у = -3.
Ответ от учителя
а) Плоскость, удаленная на 2 от плоскости ху, будет параллельна ей и смещена на расстояние 2 в направлении нормали к плоскости ху. Уравнение плоскости ху имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C — коэффициенты уравнения, а D — свободный член. Нормаль к плоскости ху имеет координаты (A, B, 0). Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид Ax + By + Cz + D + 2sqrt(A^2 + B^2) = 0 (если требуется удаление в направлении нормали) или Ax + By + Cz + D — 2sqrt(A^2 + B^2) = 0 (если требуется удаление в противоположном направлении).
б) Плоскость, удаленная на 1 от плоскости х = 3, будет параллельна плоскости х = 3 и смещена на расстояние 1 в направлении нормали к плоскости х = 3. Уравнение плоскости х = 3 имеет вид x — 3 = 0. Нормаль к этой плоскости имеет координаты (1, 0, 0). Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид x — 3 + sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = 0 (если требуется удаление в направлении нормали) или x — 3 — sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = 0 (если требуется удаление в противоположном направлении).
в) Плоскость, равноудаленная от двух данных плоскостей у = 1 и у = -3, будет проходить по середине между ними. Средняя точка между двумя точками с координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) имеет координаты ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2). Таким образом, средняя точка между точками (0, 1, 0) и (0, -3, 0) имеет координаты (0, -1, 0). Нормаль к плоскости, проходящей через эту точку, будет перпендикулярна плоскостям у = 1 и у = -3, то есть будет иметь координаты (0, 0, 1). Таким образом, уравнение искомой плоскости будет иметь вид z + 1 = 0.
