Вопрос школьника
Напишите уравнение прямой, все точки которой одинаково удалены от точек: а) А(2; 3) и В(4; 5); б) А(6; 0) и В(0; 3).
Ответ от учителя
а) Для того чтобы найти уравнение прямой, все точки которой одинаково удалены от точек А и В, нужно найти середину отрезка АВ и радиус окружности, описанной вокруг этого отрезка.
Середина отрезка АВ имеет координаты:
x = (2 + 4) / 2 = 3
y = (3 + 5) / 2 = 4
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (3; 4).
Радиус окружности можно найти по формуле:
r = AB / 2,
где AB — длина отрезка АВ.
AB = √[(4 — 2)² + (5 — 3)²] = √8
r = √8 / 2 = 2√2
Теперь мы знаем координаты центра окружности и ее радиус, поэтому можем записать уравнение окружности:
(x — 3)² + (y — 4)² = (2√2)²
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
x² — 6x + 9 + y² — 8y + 16 = 8
x² + y² — 6x — 8y + 17 = 0
Это и есть уравнение прямой, все точки которой одинаково удалены от точек А и В.
б) Аналогично, для точек А(6; 0) и В(0; 3) нужно найти середину отрезка АВ и радиус окружности, описанной вокруг этого отрезка.
Середина отрезка АВ имеет координаты:
x = (6 + 0) / 2 = 3
y = (0 + 3) / 2 = 1.5
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (3; 1.5).
Радиус окружности можно найти по формуле:
r = AB / 2,
где AB — длина отрезка АВ.
AB = √[(0 — 6)² + (3 — 0)²] = √45
r = √45 / 2 = (3/2)√5
Теперь мы знаем координаты центра окружности и ее радиус, поэтому можем записать уравнение окружности:
(x — 3)² + (y — 1.5)² = [(3/2)√5]²
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
x² — 6x + 9 + y² — 3y + 2.25 = 45/4
x² + y² — 6x — 3y + 9.25 — 45/4 = 0
Это и есть уравнение прямой, все точки которой одинаково удалены от точек А и В.
