Вопрос школьника
Наугад берутся два числа из отрезка [0;2]. Найти вероятность того, что их сумма больше 2, а сумма их квадратов меньше 4
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо определить границы области, удовлетворяющей условиям задачи, на координатной плоскости.
Пусть первое число выбрано произвольно и равно x. Тогда второе число должно быть выбрано из отрезка [0;2-x], чтобы их сумма была больше 2.
Также необходимо, чтобы сумма их квадратов была меньше 4. Это означает, что x^2 + y^2 < 4, где y - второе выбранное число. Таким образом, мы получаем область на координатной плоскости, ограниченную осью x, прямой y = 2-x и окружностью x^2 + y^2 = 4. Чтобы найти вероятность того, что два случайно выбранных числа удовлетворяют условиям задачи, необходимо найти отношение площади этой области к площади всего квадрата [0;2] x [0;2]. Площадь всего квадрата равна 4, а площадь области можно найти как сумму площадей сектора и треугольника, ограниченных окружностью и прямой y = 2-x. Сектор имеет угол 45 градусов и радиус 2, поэтому его площадь равна (1/8)π(2^2) = π/2. Треугольник имеет основание 2-x и высоту x, поэтому его площадь равна (1/2)(2-x)x = x-x^2/2. Таким образом, площадь области равна π/2 + ∫(0,2)(x-x^2/2)dx = π/2 + 2/3. Отношение площади области к площади всего квадрата равно (π/2 + 2/3)/4 ≈ 0.785. Таким образом, вероятность того, что два случайно выбранных числа из отрезка [0;2] удовлетворяют условиям задачи, составляет примерно 0.785.
