Вопрос школьника
Навколо рівностороннього АВС описано коло і середину
К його дуги ВС сполучено відрізками з В і С. Знайдіть
кути чотирикутника АВКС
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам знадобиться знання про властивості рівностороннього трикутника та кола, описаного навколо нього.
Оскільки трикутник АВС є рівностороннім, то всі його кути дорівнюють 60 градусів. Також, оскільки коло описане навколо цього трикутника, то його центр співпадає з центром описаного кола. Отже, середина К ділить дугу ВС на дві рівні частини, тобто кут ВКС дорівнює 30 градусам.
Тепер розглянемо чотирикутник АВКС. Оскільки трикутник АВС є рівностороннім, то відрізки АК та СК є бісектрисами кутів А та С відповідно. Також, оскільки кут ВКС дорівнює 30 градусам, то кути ВКА та ВКС доповнюються до 180 градусів. Отже, кут ВКА дорівнює 150 градусам.
За теоремою про суму кутів в чотирикутнику, сума всіх кутів дорівнює 360 градусам. Таким чином, кут КАВ дорівнює 60 градусам (оскільки трикутник АВС є рівностороннім), а кут ВСК дорівнює 150 градусам (як ми вже з’ясували). Отже, сума кутів АВКС дорівнює 360 градусам:
60 + 150 + 60 + x = 360
де x — шуканий кут чотирикутника АВКС.
Розв’язуючи це рівняння, отримуємо:
x = 90 градусів.
Отже, кути чотирикутника АВКС дорівнюють 60, 150, 60 та 90 градусів.
