Вопрос школьника
Небольшое тело пускают снизу по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения тела о плоскость равен μ. После подъёма в верхнюю точку тело начинает соскальзывать вниз (рис. 2.89). Определить отношение времени подъёма тела ко времени его спуска в стартовую точку.
Ответ от учителя
При подъеме тела по наклонной плоскости действует сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила трения, направленная вдоль плоскости вверх. Сумма этих сил обеспечивает ускорение тела вдоль плоскости, которое можно выразить как:
a = g*sin(α) — μ*g*cos(α)
где g — ускорение свободного падения, α — угол наклона плоскости, μ — коэффициент трения.
При достижении телом верхней точки движение замедляется и останавливается на мгновение, затем тело начинает двигаться вниз. В этом случае действует только сила тяжести, направленная вдоль плоскости вниз. Ускорение тела можно выразить как:
a = g*sin(α)
Время подъема тела до верхней точки можно вычислить по формуле:
t_подъема = √(2*h/а)
где h — высота подъема тела.
Время спуска тела в стартовую точку можно вычислить по формуле:
t_спуска = √(2*h/|a|)
где |a| — модуль ускорения тела при спуске.
Отношение времени подъема к времени спуска можно выразить как:
t_подъема/t_спуска = √(|a|/a)
Подставляя выражения для ускорений, получаем:
t_подъема/t_спуска = √((g*sin(α))/(g*sin(α) — μ*g*cos(α)))
Упрощая выражение, получаем:
t_подъема/t_спуска = √((1 + μ*tan(α))/(1 — μ*tan(α)))
Таким образом, отношение времени подъема тела ко времени его спуска в стартовую точку зависит от угла наклона плоскости и коэффициента трения. При увеличении угла наклона или коэффициента трения это отношение уменьшается.
