Вопрос школьника
Нефть налита в цилиндрическую цистерну, высота которой h = 6 м. При температуре t0 = 0 оС нефть не доходит до края цистерны на Δh = 0,2 м. При какой температуре нефть начнёт переливаться через край?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости. Таким образом, если вес тела больше веса вытесненной жидкости, то тело утонет, а если меньше, то тело всплывет.
В данном случае цилиндрическая цистерна заполнена нефтью, которая имеет плотность ρ. При температуре t0 нефть не доходит до края цистерны на Δh = 0,2 м, что означает, что объем нефти в цистерне равен объему цистерны минус объем свободного пространства:
V = πr^2h — πr^2(Δh) = πr^2(h — Δh)
где r — радиус цистерны.
При повышении температуры нефть расширяется и ее плотность уменьшается. Пусть при температуре t нефть начнет переливаться через край цистерны. Тогда объем нефти, который вытекает из цистерны, равен объему свободного пространства:
Vв = πr^2Δh
С другой стороны, вес вытесненной нефти равен силе Архимеда, которая действует на цистерну:
F = ρgVв = ρgπr^2Δh
где g — ускорение свободного падения.
Сила Архимеда должна быть равна весу нефти в цистерне, который можно выразить через ее плотность и объем:
F = ρghπr^2
Таким образом, приравнивая выражения для силы Архимеда и веса нефти, получаем:
ρgπr^2Δh = ρghπr^2
Откуда:
Δh = h(1 — 1/ρt)
где ρt — плотность нефти при температуре t.
Из этого уравнения можно выразить температуру t, при которой Δh станет равным 0,2 м:
t = 1/ρ(1 — Δh/h) + t0
Подставляя значения h = 6 м, Δh = 0,2 м и t0 = 0 оС, получаем:
t = 1/ρ(1 — 0,2/6) = 1/ρ(0,9667)
Таким образом, чтобы определить при какой температуре нефть начнет переливаться через край цистерны, необходимо знать плотность нефти. Если плотность нефти известна, то можно использовать полученную формулу для расчета температуры.
