Вопрос школьника
Некое движущееся тело распадается на два фрагмента с импульсами р1 и р2, направленными под углом θ друг к другу. Найти модуль исходного импульса тела
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения импульса и энергии.
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы тел остается неизменной при любых взаимодействиях внутри системы или с внешними телами. Таким образом, импульс исходного тела равен сумме импульсов его фрагментов:
p = p1 + p2
Закон сохранения энергии гласит, что полная энергия системы тел остается неизменной при любых взаимодействиях внутри системы или с внешними телами. В данном случае можно считать, что кинетическая энергия исходного тела равна сумме кинетических энергий его фрагментов:
E = E1 + E2 = (p1^2/2m) + (p2^2/2m) = (p1^2 + p2^2)/2m
где m — масса исходного тела.
Таким образом, имеем два уравнения:
p = p1 + p2
E = (p1^2 + p2^2)/2m
Выразим из первого уравнения p1:
p1 = p — p2
Подставим это выражение во второе уравнение:
E = ((p — p2)^2 + p2^2)/2m
Раскроем скобки и упростим:
E = (p^2 — 2p*p2 + 2p2^2)/2m
Умножим обе части уравнения на 2m:
2mE = p^2 — 2p*p2 + 2p2^2
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
p^2 — 2p*p2 + 2p2^2 — 2mE = 0
Это квадратное уравнение относительно p. Решим его относительно p:
p = (2p2 ± √(4p2^2 — 8(2mE — 2p2^2)))/2
p = p2 ± √(p2^2 — 2mE + 2p2^2)
Таким образом, модуль исходного импульса тела равен:
|p| = |p1 + p2| = |p2 ± √(p2^2 — 2mE + 2p2^2)|
Знак ± зависит от направления импульсов p1 и p2. Если они направлены в противоположные стороны, то нужно брать знак минус, иначе — плюс.
