Вопрос школьника
Некто имел 99 м сетки для ограждения участка прямоугольной формы. Каковы должны быть размеры участка, чтобы он занимал наибольшую площадь, если ограда должна иметь калитку шириной 1 м?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать математический аппарат дифференциального исчисления.
Пусть длина участка равна x, а ширина — y. Тогда площадь участка будет равна S = xy.
Также известно, что периметр участка равен 99 м, то есть 2x + 2y + 1 = 99, откуда получаем уравнение 2x + 2y = 98.
Выразим из этого уравнения одну из переменных, например, y = 49 — x. Подставим это выражение в формулу для площади:
S = x(49 — x) = 49x — x^2
Для нахождения максимальной площади необходимо найти экстремум функции S(x). Для этого найдем ее производную:
S'(x) = 49 — 2x
Приравняем ее к нулю и найдем значение x:
49 — 2x = 0
x = 24,5
Таким образом, длина участка должна быть равна 24,5 м.
Найдем ширину, используя уравнение 2x + 2y = 98:
2 * 24,5 + 2y = 98
2y = 49
y = 24,5
Таким образом, ширина участка также должна быть равна 24,5 м.
Проверим, что это действительно максимальная площадь:
S = 24,5 * 24,5 = 600,25 м^2
При других значениях длины и ширины площадь будет меньше.
Итак, размеры участка должны быть 24,5 м на 24,5 м, чтобы он занимал наибольшую площадь при использовании 99 м сетки для ограждения с калиткой шириной 1 м.
