Вопрос школьника
Нескольким белкам раздали 50 орехов так, чтобы каждая получила хотя бы по 1 ореху и ни у каких двух белок не было поровну орехов. какое наибольшее количество белок могли получить орехи?
Ответ от учителя
Пусть $n$ — количество белок, которые получили орехи. Так как каждая белка получила хотя бы по 1 ореху, то мы можем вычесть $n$ орехов из общего количества 50 и раздать оставшиеся орехи между $n$ белками так, чтобы ни у кого не было поровну орехов.
Так как ни у каких двух белок не должно быть поровну орехов, то мы можем раздать орехи так, чтобы первая белка получила 1 орех, вторая — 2 ореха, третья — 3 ореха и т.д. Таким образом, сумма орехов, которые получили белки, будет равна $1+2+3+…+n = frac{n(n+1)}{2}$.
Теперь мы можем записать неравенство:
$$frac{n(n+1)}{2} leq 50 — n$$
Решая это неравенство, получаем:
$$n^2 + n leq 100 — 2n$$
$$n^2 + 3n — 100 leq 0$$
$$(n+8)(n-5) leq 0$$
Отсюда следует, что $-8 leq n leq 5$. Так как $n$ должно быть целым числом и больше 0, то наибольшее количество белок, которые могут получить орехи, равно 5.
Таким образом, 5 белок могут получить орехи так, чтобы каждая получила хотя бы по 1 ореху и ни у каких двух белок не было поровну орехов.
