Вопрос школьника
Невысокий деревянный цилиндр обточен на одном конце в форме полушара. Определите положение центра тяжести этого тела, если оно, опираясь любой точкой закругленного конца на горизонтальную плоскость, остается в покое.
Ответ от учителя
Для определения положения центра тяжести необходимо разбить тело на бесконечно малые элементы и найти сумму произведений масс каждого элемента на его расстояние до выбранной оси координат. В данном случае выберем ось, проходящую через центр основания цилиндра (точку, где обточенный конец переходит в цилиндр).
Так как тело симметрично относительно этой оси, то центр тяжести будет находиться на этой оси. Осталось только определить расстояние от центра основания до центра тяжести.
Для этого можно воспользоваться теоремой Паппа-Гюйгенса, которая гласит: центр тяжести плоской фигуры совпадает с центром тяжести этой фигуры, если ее вырезать и вырезанный контур подвесить в любой точке на веревке.
Применяя эту теорему к нашей фигуре, можно вырезать ее сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии и перпендикулярной горизонтальной плоскости. Получится круг с диаметром, равным диаметру основания цилиндра.
Центр тяжести этого круга находится в его центре, который совпадает с центром основания цилиндра. Таким образом, центр тяжести всего тела находится на оси симметрии и на расстоянии, равном радиусу основания цилиндра.
