Вопрос школьника
Незнайка неправильно списал с доски условие примера на сложение нескольких чисел. В одном из слагаемых вместо цифры единиц 5 он написал 8, в другом — вместо цифры десятков 4 он написал 9 и в одном из оставшихся слагаемых цифру сотен 3 принял за 1. В сумме получилось 55 561. Найдите верную сумму.
Ответ от учителя
Пусть исходная сумма имела вид a + b + c + d, где a, b, c, d — слагаемые, которые Незнайка неправильно списал с доски. Тогда по условию задачи:
a = 500 + x, где x — некоторое число от 0 до 9;
b = 90 + y, где y — некоторое число от 0 до 9;
c = 100 + z, где z — некоторое число от 0 до 9;
d — некоторое число от 0 до 999.
Тогда исходная сумма равна:
a + b + c + d = (500 + x) + (90 + y) + (100 + z) + d = 690 + x + y + z + d.
Но по условию задачи получилось, что:
690 + x + y + z + d = 55 561.
Отсюда находим:
x + y + z + d = 54 871.
Заметим, что d не может быть больше 999, а значит, x + y + z не может быть меньше 54 871 — 999 = 53 872. С другой стороны, сумма трех чисел от 0 до 9 не может быть больше 27, а значит, x + y + z не может быть больше 27 * 3 = 81. Таким образом, мы получили ограничения на возможные значения x, y, z и d.
Для решения задачи можно перебрать все возможные значения x, y, z и d, удовлетворяющие ограничениям, и проверить, какие из них дают сумму, равную 54 871. Однако это довольно трудоемкий процесс. Вместо этого можно воспользоваться следующим наблюдением.
Заметим, что при замене цифры единиц на 5 в одном из слагаемых сумма увеличилась на 3, при замене цифры десятков на 9 в другом слагаемом сумма увеличилась на 50, а при замене цифры сотен на 1 в третьем слагаемом сумма увеличилась на 900. Таким образом, если бы все слагаемые были записаны правильно, то сумма была бы на 953 больше, чем получилось у Незнайки:
a + b + c + d = (500 + 1) + (40 + 9) + (300 + 3) + d = 854 + d.
854 + d = 55 561 + 953 = 56 514.
Отсюда находим:
d = 55 660.
Но мы знаем, что d не может быть больше 999, а значит, мы получили противоречие. Значит, Незнайка где-то допустил ошибку, и правильную сумму найти не удастся.
