Вопрос школьника
Новогодняя гирлянда составлена из красных и жёлтых лампочек, которые идут в таком порядке: одна красная, две жёлтых, три красных, четыре жёлтых, пять красных, шесть жёлтых и т. д. Всего в гирлянде 36 лампочек.
Сколько всего красных лампочек в этой гирлянде?
Ответ от учителя
Для решения задачи можно воспользоваться арифметической прогрессией. Поскольку лампочки чередуются красными и желтыми, можно рассмотреть две прогрессии: одну для красных лампочек и другую для желтых.
Для красных лампочек первый член равен 1, а разность между соседними членами равна 2 (так как каждый раз добавляется одна красная лампочка и одна желтая). Таким образом, формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
a_n = a_1 + (n-1)d,
где a_1 = 1, d = 2.
Для желтых лампочек первый член равен 2, а разность между соседними членами также равна 2. Таким образом, формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
b_n = b_1 + (n-1)d,
где b_1 = 2, d = 2.
Так как в гирлянде всего 36 лампочек, то сумма первых n членов каждой прогрессии должна быть равна 36. То есть:
a_1 + a_2 + … + a_n + b_1 + b_2 + … + b_n = 36.
Заметим, что сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d).
Тогда для суммы первых n членов прогрессии красных лампочек имеем:
S_n = n/2 * (2*1 + (n-1)*2) = n^2.
А для суммы первых n членов прогрессии желтых лампочек:
S_n = n/2 * (2*2 + (n-1)*2) = 2n^2.
Таким образом, уравнение для суммы первых n членов каждой прогрессии можно переписать в виде:
n^2 + 2n^2 = 36,
или
3n^2 = 36.
Отсюда получаем, что n^2 = 12, а значит, n = 2√3.
Так как n должно быть целым числом, то мы можем взять только целую часть от √12, то есть n = 3.
Таким образом, в гирлянде 3 красных лампочки, 6 желтых, 9 красных, 12 желтых и т. д. Всего красных лампочек будет 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.
Ответ: в гирлянде 18 красных лампочек.
