Вопрос школьника
ОАВС — правильная треугольная пирамида, длина стороны основания которой равна 2√3 см. Вычислите расстояние от вершины А до плоскости ОВС, если высота пирамиды равна длине стороны основания.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ОВС, образованного боковыми ребрами пирамиды и основанием ОВС:
$OV^2 = OS^2 + SV^2$
Здесь $OV$ — половина длины стороны основания, то есть $OV = sqrt{3}$ см, $OS$ и $SV$ — радиусы вписанной в треугольник окружности, которые мы обозначим как $r$.
Так как треугольник ОВС равнобедренный, то $OS = SV = r$, а высота пирамиды $AH$ равна $2r$, так как она является биссектрисой угла между боковыми ребрами.
Теперь мы можем выразить расстояние $AH$ через $r$:
$AH = sqrt{OA^2 — r^2}$
Здесь $OA$ — высота пирамиды, равная длине стороны основания, то есть $OA = 2sqrt{3}$ см.
Осталось найти радиус $r$. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника ОВС:
$S_{triangle OVS} = frac{1}{2} cdot OV cdot SV = frac{1}{2} cdot sqrt{3} cdot r$
С другой стороны, площадь треугольника ОВС можно выразить через его стороны:
$S_{triangle OVS} = frac{1}{2} cdot OV cdot VS = frac{1}{2} cdot sqrt{3} cdot 2sqrt{3} = 3$
Отсюда получаем:
$frac{1}{2} cdot sqrt{3} cdot r = 3$
$r = frac{6}{sqrt{3}} = 2sqrt{3}$ см
Теперь мы можем вычислить расстояние $AH$:
$AH = sqrt{OA^2 — r^2} = sqrt{(2sqrt{3})^2 — (2sqrt{3})^2} = sqrt{12 — 12} = 0$
Ответ: расстояние от вершины А до плоскости ОВС равно 0.
