Вопрос школьника
Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 120 дм3, AD = 5 дм, DC = 4 дм (рис. 288). Найдите расстояние между прямыми DC и D1C1
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится формула для объема прямоугольного параллелепипеда:
V = a * b * h,
где a, b, h — длины сторон параллелепипеда.
Из условия задачи известно, что V = 120 дм³, AD = 5 дм и DC = 4 дм. Найдем длину стороны AB:
V = a * b * h
120 = a * b * h
a * b = 120 / h
Так как AD = 5 дм, то AB = AD + DB = AD + A1B = AD + DC = 5 + 4 = 9 дм. Тогда:
a * b = 120 / h = 9 * h * h / h = 9h²
Отсюда получаем, что h² = 120 / 9 = 40 / 3 дм².
Теперь найдем длину стороны A1B1:
A1B1 = AB = 9 дм
Так как прямоугольный параллелепипед имеет прямоугольное основание ABCD, то прямые DC и D1C1 параллельны. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию между любыми двумя их точками. Выберем точки D и D1, лежащие на прямых DC и D1C1 соответственно.
Найдем координаты точек D и D1. Пусть начало координат находится в точке A. Тогда координаты точек D и D1 будут:
D(0, 0, 4)
D1(5, 9, h + 4)
Расстояние между точками D и D1 можно найти по формуле:
d = √((x2 — x1)² + (y2 — y1)² + (z2 — z1)²)
d = √((5 — 0)² + (9 — 0)² + (h + 4 — 4)²) = √(5² + 9² + h²)
Таким образом, расстояние между прямыми DC и D1C1 равно √(5² + 9² + h²). Осталось найти значение h:
h² = 40 / 3 дм²
h = √(40 / 3) дм ≈ 3,08 дм
Тогда расстояние между прямыми DC и D1C1 равно:
d = √(5² + 9² + 3,08²) дм ≈ 10,6 дм
Ответ: расстояние между прямыми DC и D1C1 равно примерно 10,6 дм.
