Вопрос школьника
Объем усеченного конуса равен 268п см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если длина диагонали осевого сечения равна 15 см, а сумма радиусов оснований — 9 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо знать формулу объема усеченного конуса:
V = (1/3)πh(R^2 + Rr + r^2),
где V — объем конуса, h — высота конуса, R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.
Из условия задачи известен объем усеченного конуса:
V = 268π см^3.
Также известна длина диагонали осевого сечения:
d = 15 см.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты конуса:
h^2 = d^2 — (R — r)^2.
Сумма радиусов оснований равна:
R + r = 9 см.
Мы можем выразить R через r:
R = 9 — r.
Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для высоты:
h^2 = d^2 — (9 — r — r)^2 = d^2 — (9 — 2r)^2.
Таким образом, мы получили формулу для высоты конуса в зависимости от радиуса меньшего основания.
Мы можем использовать эту формулу для выражения объема конуса через r:
V = (1/3)πh(R^2 + Rr + r^2) = (1/3)π[(d^2 — (9 — 2r)^2)/(4r + 9)(r^2 + (9 — r)r + (9 — r)^2)].
Теперь мы можем решить уравнение относительно r:
(1/3)π[(d^2 — (9 — 2r)^2)/(4r + 9)(r^2 + (9 — r)r + (9 — r)^2)] = 268π.
Решив это уравнение, мы найдем значение r:
r ≈ 3.5 см.
Теперь мы можем найти значение R:
R = 9 — r ≈ 5.5 см.
Используя формулу для высоты, мы можем найти ее значение:
h^2 = d^2 — (9 — 2r)^2 ≈ 144.5 см^2.
h ≈ 12 см.
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса:
S = π(R + r)l,
где l — образующая конуса.
Мы можем найти l, используя теорему Пифагора:
l^2 = h^2 + (R — r)^2 ≈ 122.5 см^2.
l ≈ 11.1 см.
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности:
S ≈ π(5.5 + 3.5)11.1 ≈ 96.5 см^2.
Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна примерно 96.5 см^2.
