Вопрос школьника
Обмотка катушки состоит из N=500 витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой s=1 мм2. Длина катушки ℓ=50 см, ее диаметр D=5 см. При какой частоте ν переменного тока полное сопротивление Z катушки вдвое больше ее активного сопротивления R?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать формулу для расчета полного сопротивления катушки:
Z = R + jωL,
где R — активное сопротивление катушки, L — индуктивность катушки, ω — угловая частота переменного тока, j — мнимая единица.
Активное сопротивление катушки можно вычислить по формуле:
R = ρℓ/s,
где ρ — удельное сопротивление меди, ℓ — длина провода, s — площадь поперечного сечения провода.
Для расчета индуктивности катушки можно использовать формулу:
L = μ₀μᵣN²πD²/4ℓ,
где μ₀ — магнитная постоянная, μᵣ — относительная магнитная проницаемость материала катушки, N — число витков, D — диаметр катушки.
Подставляя данные из условия задачи, получаем:
R = ρℓ/s = (1.68*10^-8 Ом*м)*0.5 м / (1 мм²) = 0.084 Ом
L = μ₀μᵣN²πD²/4ℓ = (4π*10^-7 Гн/м)*500²*(0.05 м)²/4*(0.5 м) = 0.098 Гн
Теперь можно выразить угловую частоту переменного тока из условия задачи:
Z = 2R
2R = R + jωL
jωL = R
ω = R/(jL) = R/(j*2πfL),
где f — частота переменного тока.
Подставляя значения R и L, получаем:
ω = 0.084/(j*2πf*0.098)
|ω| = 0.084/(2πf*0.098) = 0.429/f
|jωL| = |R| = 0.084
|jωL| = ωL = 0.084
L = 0.098 Гн
Отсюда получаем уравнение:
0.429/f * 0.098 = 0.084
f = 1.98 кГц
Таким образом, при частоте переменного тока 1.98 кГц полное сопротивление катушки будет вдвое больше ее активного сопротивления.
