Вопрос школьника
Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:
а) не может быть больше одного из этих чисел;
б) делится на все общие делители этих чисел.
Ответ от учителя
а) Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел не может быть больше одного из этих чисел, потому что если он был бы больше, то это означало бы, что одно из чисел не является наибольшим общим делителем. Например, если мы рассмотрим числа 12 и 18, то их наибольший общий делитель равен 6. Если бы наибольший общий делитель был больше 18, то это означало бы, что 18 не является наибольшим общим делителем, что противоречит определению.
б) НОД двух чисел делится на все их общие делители, потому что он является наибольшим общим делителем. Если мы рассмотрим числа 12 и 18, то их общие делители это 1, 2, 3, 6. Наибольший общий делитель равен 6, и он делится на все общие делители. Это можно выразить формулой: если a и b — два числа, а d — их наибольший общий делитель, то для любого общего делителя c чисел a и b, d делится на c. То есть d является кратным всем общим делителям a и b.
