Вопрос школьника
Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен φ. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2
где BC – гипотенуза, AB и AC – катеты.
Из условия задачи известно, что один из катетов равен t, а острый угол прилежащий к этому катету равен φ. Тогда второй катет равен:
AC = t / tan(φ)
Также из условия задачи известно, что CD = n. Расстояние от точки D до прямой AB можно найти как высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB. Обозначим это расстояние как h.
Так как CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC, то треугольник ACD является прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора для него:
AD^2 = AC^2 + CD^2
AD^2 = (t / tan(φ))^2 + n^2
AD = sqrt((t / tan(φ))^2 + n^2)
Теперь найдем площадь треугольника ABC:
S = (AB * BC) / 2
AB = AC * tan(φ) = t
BC = sqrt(AB^2 + AC^2) = sqrt(t^2 + (t / tan(φ))^2)
S = (t * sqrt(t^2 + (t / tan(φ))^2)) / 2
Наконец, найдем высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB:
h = 2S / AB = (t * sqrt(t^2 + (t / tan(φ))^2)) / (2t)
h = sqrt(t^2 + (t / tan(φ))^2) / 2
Таким образом, расстояние от точки D до прямой AB равно h = sqrt(t^2 + (t / tan(φ))^2) / 2.
